[이광식의 천문학+] 제곱수의 위력 - 우주를 모래알로 채울 수 있다

놀라운 인도 숫자의 위치 기수법

수를 표현하는 방법을 기수법이라 하는데, 현재 우리가 쓰고 있는 기수법은 인도에서 발원한 10진법의 인도-아라비아 숫자다. 사람의 손가락이 만약 6개였다면 6진법이 되었을 것이다. 근데 희한하게도 사람은 손가락도 발가락도 다 꼭 열 개다. 십진법은 이처럼 우리 몸에서 출발했다는 사실을 알 수 있다.

그런데 인도 기수법의 놀라운 점은 10진법 셈체계와 위치 기수법을 결합시킨 결과, 1~0에 이르는 열 개의 기호로 모든 수를 나타낼 수 있다는 점이다. 곧, 이 기수법은 숫자 기호가 쓰인 자리가 중요한 역할을 하는 것이다. 만약 위치 기수법을 쓰지 않으면 어떻게 될까? 수의 크기는 무한대이므로 단위가 올라갈 때마다 새 기호를 만들어야 한다. 한자(漢字)수를 생각해보면 금방 알 수 있다. 一, 十, 白, 千, 萬, 億... 이렇게 글자 수가 무한대로 가게 된다.

인도 숫자의 십진법과 위치 기수법의 조합은 단순하면서도 쉬운 계산을 가능하게 했고, 이를 받아들인 중세 유럽의 수학은 비약적인 발전을 이루었다. 그 전에는 복잡한 로마수 계산법으로 인해, 경리직에 취직하기 위해 단순한 곱셈과 나눗셈을 익히려고 해도 이탈리아로 유학을 해야 할 정도였다니, 10개의 기호로 이루어진 인도 숫자의 위력을 미루어 짐작할 만하다.

그런데 이 인도 기수법에 날개를 단 것이 바로 지수법(指數法)이다. 지수란 어떤 수나 문자의 오른쪽 어깨 위에 붙여 그 수나 문자의 거듭제곱을 나타내는 숫자나 문자를 말한다. 즉, 같은 수 ‘a를 n번 거듭 곱’한 것을 aⁿ으로 나타내고 ‘a의 거듭제곱’이라고 하는데, 이때 a 를 밑, n을 지수라고 한다. 북한에서는 지수를 ‘어깨수’라고 한다.

이 지수법을 이용하면 어마무시하게 큰 숫자나 작은 숫자도 간단하게 나타낼 수 있다. 예컨대, 지구에서 태양까지의 거리는 약 1,500,000,000,000m(1조 5천억m)인데, 지수를 이용해서 나타내면 1.5×10^12m라고 간명하게 표현할 수 있다. 뿐더러 지수법으로 하면 계산도 아주 쉽고 간단하게 할 수 있다.

지수, 곧 거듭제곱의 위력을 보여주는 것으로 다음과 같은 예화가 많이 인용된다. 체스를 발명한 고대 인도의 발명가 ‘세타’라는 사람의 얘기다. 세타의 발명품인 체스에 푹 빠져 있던 인도의 왕자는 큰 상을 내리려고 세타에게 받고 싶은 것을 말해보라 했더니, ‘체스판 한 칸에 수수알 한 톨, 그 다음 칸에 수수알 두 톨, 그 다음 칸에는 수수알 네 톨, 이렇게 모든 칸에 앞의 칸보다 수수알을 두 배씩 얹어서 달라’는 것이다. 왕자가 쾌히 승락했음은 물론이다.

그런데 체스판의 칸은 모두 64개다. 그러니 마지막 칸에 놓일 수수알의 개수는 2^64 개가 되는 셈이다. 이게 얼마만한 숫자일까? 이걸 무게로 환산하면 2017년 세계 곡물 생산량 26억 톤의 150배에 달하는 4000억 톤에 이른다. 이것이 바로 거듭제곱의 위력이다.

우주를 모래알로 가득 채우려면 몇 개나...

그럼 이 거듭제곱의 위력을 가장 먼저 알고 그 개념을 활용한 사람은 누구일까? 문헌에 나타난 바에 의하면 고대 그리스의 아르키메데스(BC 287? ~ BC 212)인 것으로 보인다.

아르키메데스는 ‘모래알 계산자(The Sand Reckoner)’라는 자신의 책에 모래알로 우주를 가득 채우려면 몇 개나 있어야 하는가 하는 어마무마한 계산에 도전한 내력을 써놓았다.

아르키메데스는 대체 어떤 방법으로 그 엄청난 크기의 숫자를 다루는 계산을 해냈을까? 당시는 복잡한 기수법 때문에 단순한 곱하기 문제도 여간 어렵지 않아 일반인들은 풀 엄두를 내지 못하던 때였다. 그가 사용한 계산과정은 그의 위대성을 보여주는 것으로 다음과 같은 방법이었다.

먼저 그는 양귀비 씨앗 한 개의 크기에 해당하는 모래알의 수를 계산한 후, 다음에는 손가락 크기에 해당하는 양귀비 씨앗 개수를 어림잡아 구했다. 그리고 다음에는 육상 경기장 한 개를 가득 채우는 데 필요한 손가락 개수를 어림 계산하는 등과 같은 과정을 순차적으로 반복해나갔다. 이는 바로 지수 개념의 계산법이라 할 수 있다. 그의 위대한 지성은 기원전 3세기에 이미 지수 개념을 창안해냈던 것이다. 아르키메데스가 근대의 뉴턴, 가우스와 함께 3대 수학자로 꼽히는 것은 이러한 그의 천재성 때문이다.

아르키메데스는 당시에 알려져 있던 아리스타르코스의 태양중심설을 기준으로 우주의 크기를 정했다. 아리스타르코스가 지구와 별들 사이의 거리를 따로 밝히지 않았기 때문에 아르키메데스는 이를 대략적으로 추정할 수 밖에 없었다. 아르키메데스가 나름대로 추정한 우주의 크기는 약 2광년이었다.

이렇게 하여 아르키메데스가 구한 모래알 개수는 자그마치 8x10^63 개였다. 이는 지구상 모래알 개수인 10^22개보다 엄청 많은 숫자이다. 하지만 우주를 가득 채우기에는 턱도 없는 숫자임을 이제 우리는 안다. 현재의 팽창우주는 크기가 무려 940억 광년으로, 아르키메데스가 생각하던 것보다 비교가 안될 정도로 크기 때문이다. 참고로, 온 우주의 별 개수는 호주 천문학자에 의해 지구의 모래알 수의 10배인 대략 7x10^22개라는 계산서가 나와 있다.

제곱수의 위력을 눈으로 확인하려면 ‘10의 제곱수’ 라는 제목의 아래 동영상을 보면 실감할 수 있다. 1960년대에 처음 제작된 이 동영상은 현재 유튜브에서 공개되어 있다. 이 짧은 동영상은 미국 시카코 근교에서 피크닉을 즐기는 모습에서부터 거대한 처녀자리 은하단까지 10초마다 10배씩 확대되며, 처녀자리 은하단의 거대한 모습을 보여주고 나서는 반대로 2초마다 10배씩 축소되다가 마지막에는 양성자를 보여주며 끝난다. ​

전 우주를 42번의 도약으로 관통해 가는 이 웅장한 여행은 우리에게 거듭제곱의 위력뿐 아니라, 사물들의 크기에 대해 놀라운 통찰을 선사해준다. 재생 버턴을 누르지 않으면 필히 후회할 만큼 그 어떤 논문보다도 더 많은 사실을 알려줄 것이다.　

이광식 칼럼니스트 joand999@naver.com